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El trabajo del Prof. Simon Donaldson

El trabajo matemático de Simon Donaldson se enmarca en la aplicación del Análisis Matemático a problemas de Geometría Diferencial y Geometría Algebraica, especialmente a través del estudio de Ecuaciones en Derivadas Parciales que provienen de la Física Matemática. Mencionamos las contribuciones más revolucionarias:

• Aplicación de la teoría de Yang-Mills a las 4-variedades diferenciables, que sirvió para probar que muchas 4-variedades topológicas no admiten estructuras diferenciables. La construcción del móduli de instantones también dio lugar a los conocidos como “invariantes de Donaldson” que permiten distinguir estructuras diferenciables en 4-variedades que son homeomorfas. Estos invariantes han tenido numerosas aplicaciones en topología de dimensiones 3 y 4, y han sido pie a desarrollos de todo tipo.

• Caracterización de la estabilidad de los fibrados vectoriales holomorfos sobre una variedad algebraica lisa proyectiva como aquéllos que admiten una métrica de Hermite-Einstein. Las implicaciones en la teoría de espacios de móduli de fibrados en geometría algebraica son extensísimas con numerosas ramificaciones.

• Teoría asintóticamente holomorfa en variedades simplécticas. Tiene consecuencias como la existencia de subvariedades simplécticas en casos muy generales, o la construcción de fibraciones de Lefschetz simplécticas en cualquier variedad simpléctica. Esto ha producido un gran avance en geometría simpléctica que ha permitido profundizar en el entendimiento de la topología de tales variedades.

• Geometría G2 y Spin(7). S. Donaldson y R. Thomas han introducido la noción de instanton G2 e instanton Spin(7), y propuesto un revolucionario programa dirigido a estudiar teorías gauge en variedades de dimensiones 6, 7, 8 con estructuras geométricas especiales. Numerosos estudiantes de S. Donaldson han realizado investigación en líneas sugeridas en esta área, que está en verdadero auge.

• En la última década, el trabajo de Simon Donaldson se ha centrado en la relación entre las condiciones algebro-geométricas de estabilidad de variedades proyectivas complejas lisas y la existencia de métricas de Kähler extremales, típicamente de curvatura escalar constante Kähler. Junto con X. Chen y S. Sun han completado el caso de métricas de Kähler-Einstein en 2012, lo que supone un resultado impactante que cambiará el área para el futuro.

De acuerdo con Mathscinet, Simon Donaldson tiene casi 100 artículos con más de 3500 citas por casi 1500 autores, y un h-indice de 35. Simon Donaldson ha sido supervisor de 44 estudiantes de doctorado y tiene 119 descendientes, de acuerdo con la página de Genealogy Math Project.