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El objetivo de este reading course es estudiar algunos resultados básicos de la teorı́a de representaciones. La idea fundamental de teorı́a de representaciones es estudiar las posibles acciones de un grupo en un espacio vectorial. De este modo, su utilidad obvia es, precisamente, que aporta técnicas para entender una estructura algebraica compleja (como es un grupo) a través de una mucho más simple (el espacio vectorial).

No obstante, su importancia transciende con creces a esta visión ingenua. La teorı́a de representaciones ha resultado ser fundamental en áreas avanzadas de las matemáticas, como geometrı́a diferencial y algebraica en la que clasifica estructuras geométricas. De igual forma, cumple un papel esencial en fı́sica teórica y mecánica cuántica, en la que proporciona poderosar herramientas para comprender los posibles espacios de configuraciones que rigen los sistemas.

Con esta idea, en este curso estudiaremos los fundamentos de la teorı́a de representaciones, con especial atención a los grupos finitos, llegando a clasificar todas las representaciones de algunos grupos clásicos. Asimismo, extenderemos la teorı́a para considerar una clase especial de grupos infinitos llamados grupos de Lie compactos, para los que veremos que existe una fuerte analogı́a con los grupos finitos.

Prerrequisitos. Este reading course es accesible para alumnos de últimos cursos de grado, ası́ como de máster y doctorado, e investigadores interesados. No se precisa ningún conocimiento previo de teorı́a de representaciones. Únicamente es necesario un cierto grado de familiaridad con teorı́a de grupos y álgebra lineal, por lo que se recomienda haber cursado las asignaturas ‘Álgebra lineal’ y ‘Estructuras algebraicas’.

Duración. En principio, el curso estará estructurado en 6 sesiones de 2 horas cada sesión. No obstante, podrá readaptarse la planificación original en función de la audiencia.

Referencias bibliográficas.