CG1 Aprender a aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) en el ámbito de la Ingeniería Matemática avanzada
CG5 Comprender y utilizar de manera avanzada el lenguaje y las herramientas matemáticas para modelizar, simular y resolver problemas complejos del ámbito de la ingeniería y de la industria, reconociendo y valorando las situaciones y problemas susceptibles de ser tratados matemáticamente.
CG6 Conocer los modelos, métodos y técnicas relevantes en distintas áreas de aplicación de la Ingeniería Matemática avanzada participando en la creación de nuevas tecnologías que contribuyan al desarrollo de la sociedad.
CG7 Saber abstraer en un modelo matemático complejo las propiedades y características esenciales de un problema real del ámbito de la ingeniería y de la industria reconociendo su rango de aplicabilidad y limitaciones.

CT2 Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes para emitir juicios que incluyan una reflexión profunda sobre temas relevantes de índole científica, industrial, tecnológica y empresarial. Demostrar razonamiento crítico y gestionar información científica y técnica de calidad, bibliografía, bases de datos especializadas y recursos accesibles a través de Internet.

CE1 Adquirir una formación avanzada, sólida y rigurosa en temas avanzados de Matemáticas y sus Aplicaciones.
CE2 Ser capaz de planificar la resolución de problemas de un alto nivel de complejidad en función de las herramientas de que se disponga y, en su caso, de las restricciones de tiempo y recursos.
CE3 Ser capaz de utilizar aplicaciones informáticas de cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en aspectos avanzados de Matemáticas y resolver problemas con un elevado grado de complejidad
CE4 Desarrollar habilidades de aprendizaje en Matemáticas avanzadas y sus aplicaciones que permitan al alumno continuar estudiando y profundizando en la materia de modo autónomo.
CE6 Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos avanzados utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado.
CE7 Ser capaz de utilizar de herramientas avanzadas de búsqueda de recursos bibliográficos así como manejo, gestión y análisis de alto nivel de grandes bases de datos

Clases particiopativas

Clases en el Aula de Informática

El uso del laboratotrio de Informática será fundamental en las clases : tanto magistrales o teóricas como en las prácticas
Software:
Python
Maple
Sage
Otros programas de criptografía de libre acceso

Prácticas o exposiciones de artículos sobre algoritmos innovadores (ej post cuánticos ) servirán para la evaluación continua.

Los alumnos presentarán de algunos complementos a los temas tratados teóricos, o bien implementaciones en SAGE, Maple o directamente ne Python preferentemente de algoritmos explicados en clase
Estas presentaciones y la entrega de ejercicios serán la base de la evaluación y se realizarán principalmente en tutorías .

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La criptografía llamada de “clave pública” que se ha desarrollado a lo largo del siglo XX, y aún es vigente, se  fundamenta en la “complejidad” de problemas matemáticos como factorizar números enteros muy grandes ( RSA y DSA), el problema del logaritmo discreto en cuerpos finitos (Diffie-Hellman y ElGamal) o una versión similar en grupos de puntos de curvas elípticas (ECDSA). 

Todos éstos sistemas de cifrado fundamentan su seguridaden el inasumible tiempo de computación requerido por un ordenador tradicional para atacar los cifrados.Sin embargo, la publicación en los años ‘90 de los algoritmos de Grover y Shor, mostrando que es posible romper la seguridad de los cifrados mencionados con el soporte de la potencia de cálculo de un ordenador cuántico, la investigación en criptografía se orienta al estudios de algoritmos (llamados “post cuánticos”), basados en problemas que aún con la irrupción de la computación cuántica fueran complejos. Por ahora los algoritmos que parecen más prometedores, se basan en la teoría de retículos y requieren una base considerable de estadística. 

En el curso se estudiarán las matemáticas que son base de los algoritmos RSA, DSA, ECDSA ya mencionados, y la de los algoritmos criptográficos post cuánticos basados en problemas complejos en retículos, como NTRU, LWE y sus variante PLWE, que son la base de los estándares post cuánticos aprobados en el NIST. Se introducirán también otros algoritmos post cuánticos basados en ecuaciones algebraicas en cuerpso finitos.

Es convenientes la familiarización con estructuras algebraicas elementales.

El objetivo general del curso es presentar los conceptos fundamentales de la Criptografía Moderna enfantizando en las técnicas para garantizar la confidencialidad, integridad, autenticidad y no repudio de la información, así como sus principales aplicaciones.

1. Conceptos básicos.

- Conceptos fundamentales: Criptografía simétrica y asimétrica o de clave pública.

--Complejidad binaria. Clases de complejidad. Algoritmos probabilistas.

3. Cifrado de Clave Pública 

- Funciones de una dirección. Funciones "hash". Firma digital.

- Cifrado basado en el problema de la factorización: 

RSA. Seguridad del RSA. Ataques 

4.  Cifrado basado en DLP: El Gamal. DSA

5. Criptografía con curvas elípticas (EC). Protocolo ECDSA. 

6.Emparejamientos en curvas elípticas y aplicaciones criptográficas.

  6.1. Algoritmo MOV.   6.2. Algoritmo BLS.

7.  Introducción a sistemas Criptográficos "post-Cuánticos":

7.1. Criptografía con retículos: NTR. 

 7.2. Introducción a LWE

La evaluación se hará basándose en la asistencia y participación activa en clase (10%), entrega de ejercicios propuestos (15%), Trabajo en grupo de 2 a 3 alumnos/as ya sea práctico como la implementación de alguno de los protocolos vistos en clase o que complementen a lo visto en clase en Maple, o Sage, ó ya sea teórico como la lectura y asimilación de un artículo de investigación (75%). Dicho trabajo debe de ser presentado y defendido en público. durante su presentación, en vistas a su evaluación, la profesora realizará las preguntas que estime pertinente sobre los fundamentos del trabajo y su implementación a cada uno de los miembros del equipo. La calificación será en cualquier caso individual

1. Understanding cryptography: a textbook for studentes and practitiones - Paar, C.; Pelzl, J. Springer, 2010.

2. Cryptography Made Simple. Nigel Smart. International Publishing, 2015.

3. An Introduction to Mathematical Cryptography.Jill Pipher , Jeffrey Hofstein, Joseph Silverman, Springer Verlag 2010.

4. Crytography. Theory and Practice. Stinson, Douglas R. CRC Press. 1995.

5. Lattice Algorithms and Applications 1: Introduction to Lattices.
y Lattice Algorithms and Applications 2: Basic Algorithms. ; D. Miciancio. Springer 201.0

6. Handbook of Applied Cryptography (Discrete Mathematics and Its Applications) Alfred Menezes, Paus van Oorschot, Scott Vanstone. CRC Press, 2001, http://cacr.uwaterloo.ca/hac/



SOFTWARE
1 Python
2 Maple, Sage (Paquetes de Cálculo Simbólico)
3 Programas Criptográficos de Dominio Público (PGP, CryptoTools).