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El curso está dividido en dos partes. La primera parte se desarrolla a lo largo de 7 semanas y está dedicada a presentar algunos conceptos y técnicas fundamentales del Análisis Real. La parte segunda consta en total de 8 semanas y constituyen una introducción al Cálculo de Variaciones y sus aplicaciones.

Los contenidos se expondrán en clases teórico-prácticas con una  carga docente  de 5 horas semanales. La metodología del curso fomentará la participación de los alumnos, que podrán realizar presentaciones orales o escritas, así como prácticas y ejercicios.

Es muy recomendable haber cursado las asignaturas de Teoría de la Medida y de Ecuaciones en Derivadas Parciales del Grado

Introducir a los alumnos a las técnicas básicas del Análisis Real y del Cálculo de Variaciones (como metodología casi universal en el tratamiento de modelos matemáticos de la Física, Ingeniería, Economía y otras ciencias).

PARTE 1 (35 HORAS)

Profesora: Eva Gallardo  

PROGRAMA
1. Repaso de Integración en espacios de medida.  Teoremas de la convergencia monótona y lema de Fatou: consecuencias. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Medida con densidad. Medida imagen. Medida e integración en espacios producto: Teorema de Fubini-Tonelli.

2. Medidas con signo. Teorema de descomposición de Hahn. Teorema de descomposición de Jordan.  Teorema de Radon-Nikodym.

3. Espacios funcionales: Espacios Lp y dualidad; funciones de variación acotada; etc.

4. Series y transformada de Fourier. Definición y propiedades. Teorema de Plancherel. Principio de Incertidumbre. Análisis Armónico en grupos localmente compactos. Medida de Haar: ejemplos y propiedades.

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PARTE 2 (40 HORAS)

Profesor: Ángel Manuel Ramos del Olmo

PROGRAMA.

1. Introducción. Ejemplos, citas y motivación. Principio de mínima acción. Ejemplos : superficie mínima de revolución. Braquistocrona.

2. Puntos críticos de funcionales. Problemas en dimensión finita. Problemas en dimensión infinita.

3. Integrales variacionales. Introducción a las integrales variacionales. Primera variación de las integrales variacionales. Ecuación débil de Euler-lagrange. Ejemplos. Casos especiales. Condiciones de contorno naturales.

4. Problemas variacionales con restricciones isoperimétricas. Formulación de problemas isoperimétricos generales. Multiplicadores de Lagrange. Resolución de problemas isoperimétricos.

5. Principios variacionales en Mecánica. Integral de acción. Principio de Hamilton: coordenadas generalizadas. La energía total.Ecuaciones canónicas. Integrales de movimiento en casos especiales.

La parte 1 tendrá una prueba escrita en la que se calificarán los aspectos conceptuales básicos adquiridos, la capacidad de análisis, así como la capacidad de interpretar los resultados obtenidos. Se complementará con la participación del alumno en clase.

La parte 2 tendrá una prueba escrita en la que se calificarán los aspectos conceptuales básicos adquiridos, la capacidad de análisis, así como la capacidad de interpretar los resultados obtenidos.

La nota final será el promedio ponderado de las calificaciones de ambas partes

PARTE 1:

- J. Cerdà. Análisis Real. Edic. Universidad de Barcelona, 1996. ISBN 978-8-4922-0042-9
- D. L. Cohn. Measure Theory. Springer, 1980. ISBN 978-1-4899-0401-0
- G. B. Folland. Real Analysis. Wiley, 1984. ISBN 978-0-4713-1716-6
- M. de Guzmán. Real Variable Methods in Fourier Analysis, 1981. ISBN: 978-0-444-86124-5


PARTE 2.

-M. Giacquinta and S. Hildebrandt. Calculus of variations ( dos volumenes ). Springer (199)
-J. L. Troutman. Variational Calculus and Optimal Control. Springer (1996)
-F.Y.M. Wan. Introduction to the Calculus of Variations and its applications. Chapman and Hall ( 1993).