Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2020/2021.

ANÁLISIS REAL Y CÁLCULO DE VARIACIONES - 606162

Curso Académico 2020-21

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
SI
Clases prácticas
SI
Trabajos de campo
NO
Prácticas clínicas
NO
Laboratorios
NO
Exposiciones
SI
Presentaciones
SI
Otras actividades
.

Presenciales

3,3

No presenciales

4,2

Semestre

9

Breve descriptor:

El curso está dividido en dos partes. La primera parte se desarrollara  a lo largo de 7 semanas y esta dedicada a presentar algunos conceptos y tecnicas fundamentales del Analisis Real.La partes segunda y tercera constaran en total de  8 semanas y constituyen una introducción al Cálculo de Variaciones y sus aplicaciones, presentando el formalismo lagrangiano así como el formalismo hamiltoniano.

Los contenidos se expondran en clases teórico-prácticas. La carga docente será de 5 horas semanales,  de las cuales, en promedio, 3 se dedicarán a contenidos teóricos y 2 a contenidos prácticos. La metodología del curso fomentará la participación  de los alumnos, que podrán realizar presentaciones orales o escritas, así como prácticas y ejercicios. 
 
 

Requisitos

Muy recomendable haber cursado el curso de Teoria de la Medida del grado. Las Ecuaciones en Derivadas Parciales son un marco de referencia obligada para la segunda parte.

Objetivos

  Introducir a los alumnos a las  tecnicas basicas del Analisis Real y del Calculo de Variaciones (como metodología casi universal en el tratamiento de moldelos matemáticos de la Física, Ingeneria, Economía y otras ciencias).

Contenido


PARTE 1 ( 35 HORAS) 
Profesor: Eva Gallardo

PROGRAMA
1. Repaso de Integracion en espacios de medida.  Teoremas de la convergencia monotona y lema de Fatou: consecuencias. Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Medida con densidad. Medida Imagen. Medida e integracion en espacios producto : Teoremas de Fubini y de Fubini-Tonelli.Espacios Lp
2. Medidas con signo. Teorema de Radon- Nikodyma. Teorema de Lebesgue- Radon - Nikodym. Medidas complejas . Teorema de descomposicion de Hahn. Teorema de descomposicion de Jordan. Esperanza condicional. Proyeccion en media . Dualidad de espacios Lp. Espacios de Sobolev y funciones de variación acotada.
3. Teorema de representacion de Riesz. Funcionales lineales acotados en C(X). Medidas regulares y de Radon.
4. Medida de Haar  de grupos . Construccion de la medida de Haar. Propiedades.
5. Transformada de Fourier. Definicion y propiedades. Teorema de Plancherel. Aplicación a la demostración del Principio de Incertidumbre.





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PARTE 2 ( 20 HORAS )

Profesora D. Rosa Maria Pardo

PROGRAMA.

1. Introduccion. Ejemplos, citas y motivacion. Principio de minima accion. Ejemplos : superficie minima  de revolucion. Braquistocrona.
2. Puntos criticos de funcionales. Problemas en dimension finita. Problemas en dimension infinita.
3. Integrales variacionales. Introduccion a las integrales variacionales. Primera variacion de las integrales variacionales. Ecuacion debil de Euler-lagrange. Ejemplos. Casos especiales. Condiciones de contorno naturales.
4. Problemas variacionales con restricciones isoperimetricas. Formulacion de problemas isoperimetricos generales. Multiplicadores de Lagrange. Resolucion de problemas isoperimetricos.
5. Principios variacionales en Mecanica. Integral de accion. Principio de Hamilton: coordenadas generalizadas. La energia tota .Ecuaciones canonicas. Integrales de movimiento en casos especiales.




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PARTE 3 ( 20 HORAS) : Problemas linales y no lineales con estructura variacional: problemas sub-homogéneos y super-homogéneos. Aplicación a la estabilidad de modelos dinámicos.
Profesor D. Jesús Ildefonso Díaz

PROGRAMA

1. Una posible motivación: Teorema de estabilidad de Dirichlet.  La ecuación no lineal del calor, Explosion en tiempo finito o existencia global. Exponentes de Fujita. Estabilidad de las soluciones estacionarias. 
2. El primer autovalor y problemas no-monótonos semejantes: caracterización variacional. Variedad de Nehari. Aplicación del Teorema de la función implícita
3. Regularidad de los problemas de tipo resolvente: efectos regularizantes (método de Stampacchia)
4. Problemas sub-homogéneos y problemas super-homogéneos. Diagramas de bifurcación.


Evaluación

La evaluación cada parte se hara de la forma siguiente :

PARTE 1. Prueba escrita en la que se calificaran los aspectos conceptuales basicos adquiridos, la capacidad de analisis asi como la capacidad de interpretar los resultados obtenidos . Se complementara con la participación del alumno en clase.

PARTE 2. La evaluación de esta parte se realizará a partir de la calificación de un examen final escrito y una exposición oral. La asistencia y participación en clase así como el interés por la materia se tendrán en cuenta a la hora de asignar la calificación.

PARTE 3. Se realizara a partir de la calificacion de un examen final de esta parte, complementada con cuanta informacion sea posible recabar sobre las actividades de los aluymnos durante el curso ( resolucion individual de problemas propuestos por el profesor, discusion de cuestiones planteadas en clase, etc ).

Bibliografía

PARTE 1:

D. L. Cohn. Measure Theory. Birkhauser (1980)
S. Folland : Real Analysis. Wimbley
S. Lang. Real and Functional Analysis. Third Edition, GTM 142, Springer (1993)
W. Rudin . Real and Complex Analysis. , Third Edition, McGraw-Hill (1987)
M. E. Taylor. Measure Theory and Integration. GSM 76, American Mathematical Society (2006)

PARTE 2.
Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. ISBN: 978-0-8218-4974-3
Fonseca, Irene; Leoni, Giovanni Modern methods in the calculus of variations: Lp spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York, 2007. ISBN: 978-0-387-35784-3
M. Giacquinta and S. Hildebrandt. Calculus of variations ( dos volumes ). Springer (1996)
J. L. Troutman. Variational Calculus and Optimal Control. Springer (1996)
F.Y.M. Wan. Introduction to the Calculus of Variations and its applications. Chapman and Hall ( 1993).


PARTE 3.
H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev spaces, and Partial Differential Equations. Springer (2011)
J. I. Díaz, Nonlinear Partial Differential Equations and Free Boundaries. Pitman, Londres, 1985,
M. Ghergu and V. Radulescu, Singular Elliptic Problems. Bifurcation and Asymptotic Analysis,
Oxford, 2008.
H. Levine, A. The role of critical exponents in blow-up theorems. SIAM Rev. 32 (1990), no. 2,
A. Ponce, Elliptic PDEs, Measures and Capacities, European Mathematical Society, Zurich, 2016.
P. Quittner and Ph. Souplet, Superlinear Parabolic Problems: Blow-up, Global Existence and
The steady States, 2nd ed. Birkhäuser, Basel 2019.
P. Takac, Nonlinear spectral problems for degenerate elliptic operators, In Handbook of Differential
Equations, (Chipot, M. and Quittner P. eds.), Elsevier, Amsterdam, 2004,










Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único02/09/2020 - 21/09/2020LUNES 09:00 - 11:00S-109EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
JESUS ILDEFONSO DIAZ DIAZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
MIÉRCOLES 09:00 - 11:00S-109EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
JESUS ILDEFONSO DIAZ DIAZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
VIERNES 10:00 - 11:00S-109EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
JESUS ILDEFONSO DIAZ DIAZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
23/09/2020 - 18/12/2020LUNES 09:00 - 11:00114EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
JESUS ILDEFONSO DIAZ DIAZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
MIÉRCOLES 09:00 - 11:00114EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
JESUS ILDEFONSO DIAZ DIAZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL
VIERNES 10:00 - 11:00114EVA ANTONIA GALLARDO GUTIERREZ
JESUS ILDEFONSO DIAZ DIAZ
ROSA MARIA PARDO SAN GIL