Matemáticas Avanzadas

Máster. Curso 2020/2021.

ANÁLISIS FUNCIONAL - 606163

Curso Académico 2020-21

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Si
Clases prácticas
Si

Presenciales

7,5

Breve descriptor:

El objetivo de la asignatura es ofrecer una introducción al Análisis Funcional y a la Teoría de Operadores. Se mostrarán diversas aplicaciones.
Respecto a la metodología, se expondrán los temas en la pizarra, proponiendo a los alumnos completar ciertos detalles, resolver ejercicios y realizar trabajos complementarios. La solución de parte de estas cuestiones la expondrán los alumnos en la pizarra, supervisados por los profesores. 

Objetivos

 

Contenido

1. Repaso de resultados básicos de Análisis Funcional. Repaso de los espacios de Banach clásicos de sucesiones y funciones. 
2. Dualidad, topologías débil y débil*, principio de acotación uniforme, teoremas de Mazur,  Alaoglu, Goldstine, condiciones para la metrizabilidad de la bola unidad para las topologías débil y débil*, propiedades de los espacios reflexivos, algunas consecuencias de los teoremas de James y  Bishop-Phelps.
3. Propiedades de las envolturas convexas (teoremas de Caratheodory, Mazur, Grothendieck y Krein)
, propiedades de la estructura extremal de convexos y compactos (teoremas de Krein-Milman, Milman y Choquet). Espacio cociente, suma directa de espacios, bases de Schauder y sucesiones básicas.
4. Los Teoremas de Riesz-Thorin y de Marcinkiewicz sobre interpolación de operadores entre espacios Lp. Aplicaciones.
5. El método real de interpolación. Ejemplos. Dualidad y reiteración. Aplicaciones.
6. Otros métodos de interpolación. Interpolación de operadores compactos.

7. Teoría local de espacios de Banach. Normas en R^n, espacios l_p^n. Desigualdad de Prekopa-Leindler. Desigualdad de Brunn-Minkowski. Desigualdad Isoperimétrica. Elipsoide de John. 
8. Variables gaussianas y de Bernouilli. Desigualdades de Khintchine. Lema de Levy. Fenómeno de concentración de la medida.
9. Teorema de Dvoreztki. Desigualdad de Grothendieck. 
 

Evaluación

Los alumnos tendrán que aprobar cada una de las tres partes naturales de la asignatura (temas 1 a 3, 4 a 6 y 7 a 9). La nota final será la media de esas tres calificaciones. La evaluación de los alumnos en cada parte se hará mediante las tareas y pruebas que realicen en ella. En caso necesario o si algún alumno desea subir nota, se hará un examen final de cada parte.

Bibliografía

1. F. Albiac and N. Kalton, Topics in Banach Space Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 233, Springer-Verlag, New York, 2006.
2. C. Bennett and R. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, Boston 1988.
3. J. Bergh and J. Löfström, Interpolation spaces. An Introduction. Springer, Berlin 1976.
4. A. Bowers and N. J. Kalton, An Introductory Course in Functional Analysis (Universitext).
5. M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, Functional Analysis, Canadian Math. Soc., Springer 2001.
6. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis (CMS Books in Mathematics).
7. V. D. Milman, G. Schechtman. Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces. Springer
8. N. Tomczak-Jaegerman. Banach-Mazur distances and finite dimensional operator ideals. Longman Scientific and Technical
9. H. Triebel, Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, North-Holland, Amsterdam 1978

Estructura

MódulosMaterias
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura.

Grupos

Clases teóricas y/o prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único28/09/2020 - 22/01/2021LUNES 11:00 - 13:00-FERNANDO COBOS DIAZ
IGNACIO VILLANUEVA DIEZ
MARIA DEL MAR JIMENEZ SEVILLA
MIÉRCOLES 11:00 - 13:00-FERNANDO COBOS DIAZ
IGNACIO VILLANUEVA DIEZ
MARIA DEL MAR JIMENEZ SEVILLA
VIERNES 11:00 - 12:00-FERNANDO COBOS DIAZ
IGNACIO VILLANUEVA DIEZ
MARIA DEL MAR JIMENEZ SEVILLA